بدست آوردن و محاسبه ی سریع جذر و لگاریتم ، در ریاضیات ، به خصوص در آزمون هایی که پای سرعت عمل به میان می آید از اهمیت ویژه ای برخوردار است. حتما درهنگام آزمون به مسائلی برخورد کرده ایم که نیاز به ریشه گیری داشته اند ویا به لگاریتم اعداد برخورد کرده ایم. هر دوی این اعمال ریاضی از وقت گیر ترین مسائل در آزمون های ریاضی می باشند. ولی باید این موضوع را در نظر داشته باشیم که زمان این آزمون ها محدود و پاسخگویی شما باید با سرعت همراه باشد.

بدست آوردن جذر و لگاریتم اعداد ، در حالت عادی ، بسیار وقت گیر می باشد. پس باید به روش هایی اکتفا کنیم که محاسبه ی سریع جذر و لگاریتم را برای ما فراهم می سازد. در مقاله ی دیگری محاسبه ی سریع چهار عمل اصلی را شرح دادیم .در این مقاله قصد داریم شما را با روش های محاسبه ی سریع جذر و لگاریتم آشنا کنیم.

 

جذر چیست؟

بشر به مرور زمان با چهار عمل اصلی آشنا شد و از روابط نزدیک این چهار عمل آگاهی پیدا کرد. به این صورت که ، فهمید ، عمل ضرب بیانی دیگر از عمل جمع می باشد. به طور مثال : در عمل ضرب 5×3 می توانیم آن را به صورت جمع 3 عدد 5 نیز بیان کنیم. این روابط با گذر زمان بسط و گسترش پیدا کرد ، تا جایی که منجر به اختراع توان و جذر در ریاضیات شد. امروزه توان و جذر به بخش بسیار مهم وحیاتی از ریاضیات تبدیل شده اند . به صورتی که بسیاری از فرمول های علم فیزیک هم دارای این دو عملیات مهم می باشد.

عملیات جذر و توان برعکس هم عمل می کنند . به این صورت که ما ضرب چند عدد در یکدیگر را می توانیم به صورت توانی بنویسیم . مثلا اگر عدد4 شش بار در خودش ضرب شده باشد ، می توانیم آن را به صورت 4⁶ بنویسیم. و اگر جذر آن را بخواهیم محاسبه کنیم ، باید ریشه ی آن را با توجه به فرجه ی آن (همان ریشه ی عدد) بدست آوریم. فرجه یا همان ریشه ی جذر را پشت علامت جذر می نویسند. به طور مثال اگر بخواهیم جذر عدد 4⁶ رابدست آوریم باید توان آن را نصف کنیم ، که حاصل برابراست با 4³ (البته اگر فرجه ی آن 2 باشد.)

روش عادی محاسبه ی جذر:

در روش عادی حل این مسئله ، ما به دو دسته از اعداد زیر رادیکال برمی خوریم. دسته ی اول ، اعدادی است که توان آن ها بر فرجه ی رادیکال قابل تقسیم است و دسته ی دوم اعدادی هستند که توان آن ها بر فرجه رادیکال ، قابل تقسیم نمی باشد. البته ای را هم باید ذکر کرد که اعداد منفی زیر رادیکال ، جذر ندارند.

دسته ی اول:

درباره ی مورد اول می توان گفت که کار راحتی داریم. فقط کافیست که توان عدد زیر رادیکال را بر فرجه ی رادیکال تقسیم کنیم . حاصل برابر است با عدد پایه زیر رادیکال به توان ، توان تقسیم شده بر فرجه. مثال :

روش بالا برای اعداد توانی که ، قابلیت تقسیم برفرجه را دارند ، به کار می رود. اما برای دسته ی دوم از اعداد روش های متفاوتی وجود دارد که می توانیم جذر را به صورت تقریبی بدست بیاوریم.مثل روش تجزیه به عامل های اول و …

دسته ی دوم:

ولی روشی که در این قسمت به شما آموزش داده خواهد شد ، رایج ترین روش حل جذر به صورت تقریبی و تا یک رقم اعشارمی باشد. بگذارید این روش را با حل یک مثال به شما آموزش بدهیم. مثلا اگر بخواهیم ریشه ی دوم عدد 65 را بدست آوریم ، در ابتدا باید بدانیم که این عدد مربع کامل نیست . پس باید به دنبال دو عدد مربع کامل بگردیم که به 65 نزدیک باشد. یکی قبل از آن (64) و یکی بعد از آن (81).پس ریشه ی دوم عدد 65 بین 8 و 9 قرار دارد.

همان طور که گفتیم ، ریشه ی عدد 65 بین 8 و9 قرار دارد. عدد 9 را کران بالا و عدد 8 را کران پایین می نامیم. سپس داریم : 8.5=2÷(9+8)

حال عدد بدست آمده (8.5) را به توان 2 رسانده 72.25=²(8.5)

اگر عدد بدست آمده بزرگتر از عددی باشد که می خواهیم جذر آن را محاسبه کنیم ، باید اعداد بین 8 و 8.5 را بررسی کنیم. واگر عدد بدست آمده کوچکتر باشد ، باید اعداد بین 8.5 و 9 را بررسی کنیم. چون عدد بدست آمده (72.25) بزرگتر از 65 است ، پس ما کران پایین را انتخاب می کنیم. بعد از انتخاب کران (8.5 تا 8) از کران پایین یعنی (8) شروع کرده و 0.1 ، 0.1 به آن اضافه می کنیم.(8 ، 8.1 ، 8.2 ، 8.3 ، 8.4 ، 8.5). حال مجذور هر کدام از این اعداد را بدست می آوریم. هر کدام از این اعداد به عدد مورد نظر ما نزدیک تر بود ، آن عدد ریشه ی دوم عدد ما با یک رقم تقریب اعشار می باشد.

روش محاسبه ی سریع جذر:

در این روش ما از یک فرمول از پیش آماده و حفظی استفاده می کنیم.که به شرح زیر می باشد.

مثال : جذر عدد 53 را بدست آورید.

ابتدا باید عدد 53 را به فرم جمع عامل های اول و باقی مانده ی آن ها بنویسیم. که داریم:

حاصل برابر است با:

پس حاصل ریشه ی دوم عدد 53 ، 7.25 بدست می آید.

 

لگاریتم چیست؟

لگاریتم ، وارون تابع توان است. به این معنی که می توان آن را به تابع نمایی (توانی) تبدیل کرد. لگاریتم در ریاضیات کاربردهای بسیاری دارد. از جمله : فاصله در موسیقی ، سنجش میزان انرژی آزاد شده از یک جسم ( زمین لرزه ) و…. معمولا این دسته از توابع را به صورت می نویسند. در این عبارت a  مبنای لگاریتم می باشد، که به صورت پیش فرض عدد 10 می باشد. اگر مبنای لگاریتم عدد اویلر(2.71) باشد ، آن را به صورت f(x)=Lnx می نویسیم. لگاریتم ها روابط بسیار نزدیک و تنگاتنگی با عامل ضرب و توان دارند که همین مبحث لگاریتم را به مسئله ای کاربردی که دارای خواص زیادی است ، تبدیل کرده است.

نحوه ی نوشتن لگاریتم اعداد توان دار:

به طور مثال اگر عدد 16 را در نظر بگیریم ، عدد 16 از چهار بار ضرب عدد 2 در خودش به وجود آمده است.16=2×2×2×2

پس عدد 16 را می توانیم به صورت  بنویسیم. همان طور که گفتیم لگاریتم ، وارون تابع نمایی (توانی) می باشد. پس لگاریتم 16 در پایه ی 2 برابربا 4 می شود.نگارش ریاضی آن نیز به صورت زیر می باشد.

تبدیل اعداد توانی به لگاریتم و بالعکس:

مثال:عدد رو به رو را به لگاریتم و لگاریتم مقابل را به عدد توانی تبدیل کنید.(صرفا جهت آشنایی بهتر)

برای بدست آوردن حاصل  ، ابتدا باید 81 را به صورت توانی با پایه ی 3 بنویسیم.داریم:

در این صورت لگاریتم ما به صورت  در می آید.عدد چهار به پشت لگاریتم رفته و حاصل  ، عدد 1 می باشد.پس حاصل لگاریتم ما عدد 4 می باتشد.

اما درباره ی مورد دوم ، می دانیم که حاصل آن برابر است با 243 .

پس ما عدد 243 را در صورت لگاریتم نوشته و پایه ی توان را در مبنای لگاریتم می نویسیم. توان ما در 3 به توان 5 ، عدد 5 می باشد. پس حاصل لگاریتم ما نیز عدد 5 خواهد شد.بنابراین داریم:

لگاریتم های عادی:

مبنای لگاریتم ها در حالت عادی عدد 10 می باشد و بیانگر آن است که چند بار باید عدد 10 را در خود ضرب کنیم (پایه عدد 10 و توان آن تعداد دفعات ضرب) تاعددی که می خواهیم بدست آید. لگاریتم در ماشین حساب ها به صورت log  نمایش داده می شود.(لگاریتم در مبنای 10). همچنین این لگاریتم در محاسبات مهندسی بسیار پرکاربرد می باشد.

لگاریتم در مبنای عدد نپر (e) :

این نوع از لگاریتم را با نماد (ln) نمایش می دهیم. این نوع از لگاریتم بسیار مورد استفاده و علاقه ی ریاضی دانان می باشد. معنی این لگاریتم این است که باید چند بار عدد نپر e را در خود ضرب کنیم تا عدد مورد نظرمان بدست آید.

عدد نپر(e) چیست؟

عدد نپر که به اسم عدد اویلر نیز شناخته می شوند ، برابر است با 2.71. این عدد در محاسبات ریاضی و محاسبات جبری کاربرد بسیار زیادی دارد. عدد نپر مثل عدد پی جزو دسته ی اعداد گنگ می باشد.بدین معنی که انتهای این اعداد مشخص نمی باشد. ولی به صورت تقریبی آن را 2.7 در نظر می گیرند. عدد نپر برای اولین بار در سال 1618 توسط جان نپر به دنیای ریاضیات معرفی شد و برای اولین بار توسط اویلر ، تا 18 رقم اعشار محاسبه شد. عدد نپر بیانگر سرعت رشد در طبیعت می باشد. این عدد به زیست شناسان کمک می کند که سرعت رشد باکتری ها و سایر ذرات میکروسکوپی را تخمین زد. همچنین به باستان شناسان و زمین شناسان کمک می کند تا عمر یک ابزار باستانی و یا عمر یک فسیل را مشخص کنند.

عدد نپر و کاربرد آن در سیستم بانکی:

ژاکوب برنولی ، ریاضی دان برجسته ی سوئیسی ، اولین کسی بود که عدد نپر را برای محاسبه ی میزان سود بانکی مورد استفاده قرار داد. امروزه این عدد در تعیین برنده ی احتمالی جایزه ی بانک نیز به کار می رود.

برخی از خاصیت های لگاریتم:

ضرب در لگاریتم :

در این حالت فرض می کنیم که مبنای دو لگاریتم ، برابر می باشد. اگر در صورت یک لگاریتم ، دو عبارت در یک دیگر ضرب شده باشند ، می توانیم آن دو عبارت را به دو لگاریتم مجزا تبدیل کرده و علامت بین آن دو را به علاوه قراردهیم. عکس این عمل هم صادق است ، یعنی می توانیم جمع دو لگاریتم را به یک لگاریتم ، تبدیل کنیم. در شرایطی که صورت دو لگاریتم را در هم ضرب کنیم. پس داریم :

تقسیم در لگاریتم :

در این حالت نیز ، فرض براین است که مبنا ها برابراست.اگر صورت یک لگاریتم از تقسیم دو عبارت تشکیل شده باشد ، می توانیم آن لگاریتم را به دو لگاریتم که علامت منها میان آن ها قرار دارد ، تبدیل کنیم. برعکس این قضیه نیز صادق می باشد. یعنی دو لگاریتم هم مبنا که علامت تفریق میان آن هاست را می توان به یک لگاریتم با تقسیم صورت های آن دو بر یکدیگر تبدیل کنیم. پس داریم :

 

محاسبه ی سریع لگاریتم :

برای محاسبه ی سریع لگاریتم اعدادی که نمی توانیم آن ها را به صورت تابع نمایی بنویسیم ، (توابعی نمایی که پایه ی آن ها با مبنای لگاریتم برابر باشد.) باید آن ها را با روش هایی که در بالا گفته شد ، حل کنیم و حاصل را بدست آوریم.به طور مثال اگر بخواهیم حاصل لگاریتم 12 را بدست آوریم ، باید آن را به لگاریتم های سازنده اش تقسیم کرده و حاصل هر کدام را به صورت جداگانه محاسبه کنیم. سپس با توجه به تبدیلمان ، آن دو لگاریتم را یا از هم کم کرده و یا با هم جمع می کنیم. پس داریم:

البته گغتنی است که باید لگاریتم اعدادی مثل 2 و 3 را در مبنای عدد 10 به خاطر داشته باشیم تا در محاسبه دچار مشکل نشویم. در عبارت بالا ما لگاریتم عدد 12 را  طبق قانون ضرب در لگاریتم ها به جمع دو لگاریتم 3 و4 تبدیل می کنیم. عدد 4 به صورت تابع نمایی 2 به توان 2 در می آید. که حاصل آن 2 تا لگاریتم 2 در مبنای 10 خواهد شد. سپس با حفظ بودن حاصل لگاریتم 2 و 3 ، قادر خواهیم بود که حاصل نهایی را بدست آوریم.

سخن پایانی :

جذر و لگاریتم از مباحث مهم ریاضیات به شمار می روند. البته درست است که یادگیری این دو چندان مشکل ساز نیست. ولی ترکیب شدن با مسائل دیگر و وقت گیر بودن در محاسبه ، در آزمون هایی که سرعت یکی از مولفه های مهم به حساب می آید ، این دو مبحث را تا حدی مشکل ساز می کند. لذا اهمیت محاسبات سریع این دو در اینجا نمود پیدا می کند.موسسه ی مغز برتر با تولید پکیج های آموزشی و به کارگرفتن روش های نوین در آموزش ، یادگیری محاسبات سریع در ریاضیات را آسان تر و راحت تر کرده است.