رادیکال:

رادیکال یا ریشه، در ریاضیات به یک نوع از عملگرهای جبری گفته می‌شود که برای محاسبهٔ مجموعه حل تعدادی از معادلات جبری مورد استفاده قرار می‌گیرد. این عملگر از نماد تعریف شدهٔ √ و یا علامت ریشه برای نمایش استفاده می‌کند و به صورت زیر نمایش داده می‌شود:
√a
در اینجا a به عنوان عددی ثابت یا متغیر قرار گرفته‌است. رادیکال معمولاً به مثبت‌ترین عدد حقیقی که قابل استخراج از a است، نسبت داده می‌شود. به عنوان مثال ، √4 برابر با 2 است، زیرا 2 مثبت‌ترین عدد حقیقی است که می‌توان از 4 استخراج کرد.
رادیکال‌ها در ریاضیات به طور گسترده‌ای در محاسبات مختلف مانند ترکیب اعداد، محاسبهٔ اندازهٔ هندسی، توابع ریاضی، و مسائل مربوط به آمار و احتمالات مورد استفاده قرار می‌گیرند.
همانطور که گفته شد، این کلمه در ریاضیات به معنای استخراج ریشه یک عدد یا مقدار می‌باشد. در واقع، “√” عملی است که برای یافتن مقداری که برای توان خاصی، مانند ریشه مربعی یا ریشه مکعبی، منتهی می‌شود، استفاده می‌شود.
این عملگر با نماد ریاضی “√” نشان داده می‌شود. برای استفاده از “√” ، عدد یا مقدار مورد نظر درون علامت “√” قرار می‌گیرد. به طور معمول، رادیکال دو ریشه (ریشه مربعی) بیانگر عمل استخراج ریشه دوم یک عدد است، اما می‌توان از رادیکال با ریشه‌های دیگر مانند ریشه سهمی، ریشه چهارم و غیره نیز استفاده کرد.
نحوه استفاده از این عمل ریاضی با یک مثال توضیح می‌دهم. فرض کنید می‌خواهیم ریشه مربعی یک عدد را محاسبه کنیم. برای مثال، می‌خواهیم ریشه مربعی عدد ۲۵ را بدست آوریم.

 

تاریخچه رادیکال

استخراج ریشه‌ها یا رادیکال‌ها به مفهوم استخراج جذر معادلهٔ دوم، برای اولین بار در دورهٔ باستان به‌ویژه در اعداد مثلث توسط دانشمندان بابلی، یونانی و هندو بررسی شد. در این دوره زمانی، رادیکال‌ها به شکل تقریبی و با استفاده از تجربیات عملی محاسبه می‌شدند.
در دورهٔ میانهٔ ریاضیات اسلامی، به ویژه در کتاب “الکتاب الکامل” از ابن سینا، مفاهیمی مانند ریشهٔ مربعی، ریشهٔ مکعبی و ریشهٔ جزری مورد بحث قرار گرفت. این کتاب از اهمیت ویژه‌ای برای تاریخچهٔ رادیکال‌ها برخوردار است.
در دورهٔ رنسانس، دانشمندانی مانند جراردو کردانو و فرانچسکو ویتوریو، به بررسی رادیکال‌ها پرداختند و روش‌های جدیدی برای استخراج آن‌ها توسعه دادند.
در دورهٔ جدیدتر، با ظهور مفاهیم جبر خطی و جبر مدرن، رادیکال‌ها به عنوان یکی از ابزارهای مهم در حل مسائل ریاضیاتی و علمی مورد استفاده قرار گرفتند و روش‌های جدیدی برای حل معادلات با رادیکال‌ها با استفاده از تکنیک‌های جبری و محاسبات عددی توسعه داده شدند.

مخترع رادیکال

مفهوم رادیکال در ریاضیات به طور رسمی توسط متاکسیس، ریاضی‌دان یونانی در قرن سوم پیش از میلاد مطرح شد. وی در کتاب “عناصر” خود این مفهوم را بررسی کرد و از آن در حل معادلات استفاده کرد. اما استفاده از آن به شکل کنونی در ریاضیات، در قرن هفدهم میلادی توسط ریاضی‌دان فرانسوی، فرماتور، مطرح شد. وی به عنوان نخستین شخص از نماد √ برای نمایش ریشهٔ مربعی استفاده کرد و از آن به عنوان رادیکال نیز یاد کرد. از آن زمان به بعد، رادیکال به عنوان یکی از مفاهیم اساسی در ریاضیات به کار گرفته می‌شود.

انواع رادیکال

این عملگر ها به دو دستهٔ کلی تقسیم می‌شوند: رادیکال‌های کامل و رادیکال‌های ناکامل.
رادیکال‌های کامل، رادیکال‌هایی هستند که مقدار صحیح آن‌ها قابل محاسبه است. به عبارت دیگر، در رادیکال‌های کامل، مقدار پایهٔ رادیکال (a) می‌تواند یک مثبت کامل باشد و یا اعشاری باشد که در قالب اعداد بدون حدود قابل نمایش باشد. مثال‌هایی از رادیکال‌های کامل شامل √4 (که برابر با 2 است) و √9 (که برابر با 3 است) می‌شوند.
رادیکال‌های ناکامل، آن هایی هستند که مقدار صحیح آن‌ها قابل محاسبه نیست. به عبارت دیگر، در رادیکال‌های ناکامل، مقدار پایهٔ رادیکال (a) نمی‌تواند یک مثبت کامل باشد و یا اعشاری باشد که در قالب اعداد بدون حدود قابل نمایش باشد. مثال‌هایی از رادیکال‌های ناکامل شامل √2 و √3 می‌شوند.
همچنین، رادیکال‌ها می‌توانند دارای مربع، مکعب و غیره باشد. به عنوان مثال، رادیکال مربعی یا ریشهٔ مربعی یک عدد a، با نماد √a نشان داده می‌شود. رادیکال مکعبی یا ریشهٔ مکعبی یک عدد a، با نماد ³√a نشان داده می‌شود. وجود رادیکال‌های مربعی، مکعبی و … به دلیل این است که معادلاتی وجود دارند که برای حل آن‌ها نیاز به استخراج ریشهٔ مربعی، مکعبی و غیره داریم.

رادیکال های کامل

رادیکال‌های کامل، عملگر هایی هستند که مقدار صحیح آن‌ها قابل محاسبه است. برای مثال، رادیکال کامل √4 برابر با 2 است، زیرا 2 مثبت‌ترین عدد حقیقی است که می‌توان از 4 استخراج کرد. همچنین، رادیکال کامل √9 برابر با 3 است، زیرا 3 مثبت‌ترین عدد حقیقی است که می‌توان از 9 استخراج کرد.
چند نمونه از رادیکال های کامل:

| پایهٔ رادیکال | نمایش ریاضی | مقدار رادیکال |
|—————-|————–|——————|
|       1         |      √1       |         1          |
|       4         |      √4       |         2          |
|       9         |      √9       |         3          |
|      16        |     √16      |         4          |
|      25        |     √25      |         5          |

همچنین، برای هر عدد طبیعی، می‌توان آخرین رقم آن را بررسی کرد تا بفهمیم آیا رادیکال کاملی برای آن وجود دارد یا خیر. اگر آخرین رقم 2، 3، 7 و 8 باشد، رادیکال کاملی برای آن وجود ندارد و در غیر این صورت وجود دارد. به عنوان مثال، رادیکال کامل √112 برابر با 4√7 است، زیرا 7 آخرین رقم غیر از 2، 3، 7 و 8 است.

رادیکال های ناکامل

رادیکال‌های ناکامل، رادیکال‌هایی هستند که مقدار صحیح آن‌ها قابل محاسبه نیست. به عبارت دیگر، در رادیکال‌های ناکامل، مقدار پایهٔ رادیکال (a) نمی‌تواند یک مثبت کامل باشد و یا اعشاری باشد که در قالب اعداد بدون حدود قابل نمایش باشد. نمونه هایی از رادیکال های ناکامل:

– ناکامل √2: ریشهٔ مربعی عدد 2 نمی‌تواند به شکل دقیق در قالب اعداد صحیح نمایش داده شود و مقدار آن 1.41421356237… می‌باشد.
– ناکامل √3: ریشهٔ مربعی عدد 3 نمی‌تواند به شکل دقیق در قالب اعداد صحیح نمایش داده شود و مقدار آن 1.73205080757… می‌باشد.
– ناکامل √5: ریشهٔ مربعی عدد 5 نمی‌تواند به شکل دقیق در قالب اعداد صحیح نمایش داده شود و مقدار آن 2.2360679775… می‌باشد.

همچنین، رادیکال‌های ناکامل می‌توانند دارای مربع، مکعب و غیره باشند. به عنوان مثال، رادیکال مکعبی یک عدد a، با نماد ³√a نشان داده می‌شود. ریشهٔ مکعبی عدد 2 نیز مانند ریشهٔ مربعی آن، یک رادیکال ناکامل است که مقدار آن 1.25992104989… می‌باشد.

 

به مثال های زیر توجه کنید:

در اینجا، رادیکال با ریشه دوم (ریشه مربعی) مورد استفاده قرار می‌گیرد. بنابراین، ما این عمل ریاضی دوی ۲۵ را به صورت زیر نوشته و محاسبه می‌کنیم:
√۲۵ = ۵
این نتیجه نشان می‌دهد که ریشه مربعی ۲۵ برابر با ۵ است.
به عنوان، فرض کنید می‌خواهیم ریشه‌ی مربعی را بسازیم. در این صورت، این عمل ریاضی مربعی از عدد ۲ به شکل زیر نشان می‌شود:
√2
در این، عدد ۲ درون علامت “√” قرار دارد و به عنوان مثال، منبعی، مقدار آن برابر با ۱/۴۱۴ (تقریباً) است. از این پس، می‌توانیم به جای عبارت «رادیکال مربعی از ۲»، به صورت ساده‌تر «رادیکال ۲» را استفاده کنیم.
این عمل ریاضی برای انجام محاسبات ریاضی مرتبط با ریشه‌ها و مقادیر توانی مورد استفاده قرار می‌گیرد. البته، مفهوم “√” به عنوان عملیات استخراج ریشه در ریاضیات به مرور زمان تکامل یافته است و توسط ریاضی‌دانان و علمای گوناگون بررسی و توسعه شده است، اما نمی‌توان آن را به یک اختراع خاص یا یک فرد مشخص نسبت داد.

کاربرد رادیکال

رادیکال در ریاضیات و علوم مرتبط با آن، از جمله فیزیک و مهندسی، کاربردهای بسیاری دارد. به عنوان مثال:

• 1- حل معادلات با استفاده از رادیکال.
• 2- محاسبهٔ فواصل و ابعاد در هندسهٔ فضایی و هندسهٔ صفحه‌ای.
• 3- محاسبهٔ مساحت و حجم شکل‌های هندسی.
• 4- محاسبهٔ فشار و جریان در مهندسی مکانیک و هیدرولیک.
• 5- محاسبهٔ مقدار بردارهای مختلف در فیزیک.
• 6- محاسبهٔ مقدار احتمالاتی در آمار و احتمالات.
• 7- محاسبهٔ شاخص‌های مالی و اقتصادی مانند بازده سرمایه‌گذاری و نرخ سود.
• 8- تشخیص مقاومت و ضعف سیستم‌های کامپیوتری با استفاده از رمزنگاری رادیکالی.
• 9- محاسبهٔ مقاومت مصالح و سازه‌های ساختمانی در مهندسی عمران.

به طور کلی، این عمل به عنوان یکی از ابزارهای مهم ریاضیات، در حل مسائل، ارائهٔ مدل‌های ریاضی و برآورد مقادیر در دنیای واقعی کاربرد دارد.

آموزش حل رادیکال

برای حل عبارات رادیکالی، ابتدا باید بفهمید که آیا شما کامل است یا ناکامل؟ اگر کامل است، به راحتی می‌توانید آن را با استفاده از مقدار پایهٔ رادیکال حل کنید. به عنوان مثال، اگر بخواهید رادیکال √25 را حل کنید، می‌دانید که مقدار آن برابر با 5 است.
اما اگر ناکامل است، شما باید آن را به صورت ساده‌تر ترکیب کنید. برای این کار، ابتدا باید تلاش کنید تا بخشی از آن را به صورت مربع کامل تجزیه کنید. به عنوان مثال، فرض کنید که می‌خواهید √27 را حل کنید. ابتدا می‌توانیم آن را به شکل √(9 × 3) تجزیه کنیم. سپس، می‌توانیم بخشی از آن را به صورت مربع کامل تجزیه کنیم، به این صورت:
√(9 × 3) = √9 × √3 = 3√3
بنابراین، √27 برابر با 3√3 است.
به علاوه، برای ترکیب دو رادیکال با هم، می‌توانید از اصول جمع و تفریق استفاده کنید. به عنوان مثال، فرض کنید که می‌خواهید عبارت √12 + √27 را حل کنید. می‌توانیم ابتدا هر دو رادیکال را به صورت ساده‌تر تجزیه کنیم:
√12 = √(4 × 3) = 2√3
√27 = √(9 × 3) = 3√3

سپس، می‌توانیم آن‌ها را با هم جمع کنیم:
√12 + √27 = 2√3 + 3√3 = 5√3
بنابراین، عبارت √12 + √27 برابر با 5√3 است.

 

ترکیب دو رادیکال

ترکیب دو رادیکال به معنای جمع یا تفریق دو عبارت رادیکالی است. برای ترکیب دو رادیکال، باید ابتدا هر دو رادیکال را به صورت ساده‌تر تجزیه کنید، سپس آن‌ها را با هم جمع یا تفریق کنید.
برای مثال، اگر بخواهید عبارت √3 + √5 را حل کنید، ابتدا هر دو رادیکال را به صورت ساده‌تر تجزیه می‌کنید:
√3 = 1.73…
√5 = 2.24…

سپس، می‌توانید آن‌ها را با هم جمع کنید:
√3 + √5 = 1.73… + 2.24… = 3.97…

بنابراین، عبارت √3 + √5 برابر با 3.97… است.
همچنین، می‌توانید دو رادیکال را از یکدیگر تفریق کنید. برای مثال، اگر بخواهید عبارت √7 – √2 را حل کنید، ابتدا هر دو رادیکال را به صورت ساده‌تر تجزیه می‌کنید:
√7 = 2.64…
√2 = 1.41…

سپس، می‌توانید آن‌ها را از یکدیگر تفریق کنید:
√7 – √2 = 2.64… – 1.41… = 1.23…
بنابراین، عبارت √7 – √2 برابر با 1.23… است.

مثال دیگری از ترکیب دو رادیکال با هم، می‌تواند به شکل زیر باشد:
فرض کنید که می‌خواهید عبارت √8 + √18 را حل کنید. ابتدا هر دو آنها را به صورت ساده‌تر تجزیه می‌کنیم:
√8 = √(4 × 2) = 2√2
√18 = √(9 × 2) = 3√2
سپس، می‌توانیم آن‌ها را با هم جمع کنیم:
√8 + √18 = 2√2 + 3√2 = 5√2
بنابراین، عبارت √8 + √18 برابر با 5√2 است.

آیا ترکیب دو رادیکال همیشه ممکن است؟

خیر، ترکیب دو رادیکال همیشه ممکن نیست. در برخی موارد، ترکیب دو تا از آن به صورت ساده‌تری ترکیب نمی‌شوند. به عنوان مثال، عبارت √2 + √3 را در نظر بگیرید. در اینجا، هر دو رادیکال به صورت ساده‌تر تجزیه نمی‌شوند و نمی‌توانید آن‌ها را با هم ترکیب کنید. بنابراین، عبارت √2 + √3 یک رادیکال ناقابل ترکیب است.
به طور کلی، ترکیب دو تا از آن فقط در صورتی که مقدار رادیکال‌ها قابل محاسبه و قابل تجزیه به صورت ساده‌تر باشد، ممکن است. در غیر این صورت، ترکیب دو رادیکال ناقابل ترکیب است.

جایگاه رادیکال در ریاضیات

این موضوع یکی از مفاهیم مهم در ریاضیات است و در بسیاری از زمینه‌های ریاضیاتی کاربرد دارد. نمونه هایی از کاربرد آن:

• 1- حل معادلات بسط شده با استفاده از آن.
• 2- تجزیه و تحلیل اعداد با استفاده از آن.
• 3- محاسبهٔ فواصل و ابعاد در هندسهٔ فضایی و هندسهٔ صفحه‌ای.
• 4- محاسبهٔ مساحت و حجم شکل‌های هندسی.
• 5- حل معادلات و مسائل مربوط به استفاده از بردارها در فیزیک و هندسهٔ فضایی.
• 6- محاسبهٔ مقادیر احتمالاتی در آمار و احتمالات.
• 7- محاسبهٔ نرخ سود و بازده سرمایه‌گذاری در مالی و اقتصاد.
• 8- ایجاد و استفاده از الگوریتم‌های رمزنگاری رادیکالی در امنیت کامپیوتری.
• 9- استفاده از آن در مهندسی برای محاسبهٔ مقاومت و ضعف سیستم‌های سازه‌ای و مصالح مختلف.

به طور کلی، این عملگر جبری به عنوان یکی از ابزارهای مهم ریاضیات، در حل مسائل، ارائهٔ مدل‌های ریاضی و برآورد مقادیر در دنیای واقعی کاربرد دارد.

برای مطالعۀ مقالات بیشتر و همچنین استفاده از دوره های آموزشی ریاضیات، به سایت مغز برتر مراجعه کنید.