میانه چیست؟

در ریاضیات، مفهوم “میانه” (Median) به معنای مقدار وسط دسته‌ای از اعداد یا داده‌ها است که به ترتیب افزایشی یا کاهشی قرار دارند. به طور دقیق‌تر، میانه مقداری است که در دسته‌ای از اعداد، به طوری که اعداد به ترتیب افزایشی (یا کاهشی) قرار گرفته‌اند، در موقعیت وسطین قرار دارد. به عبارت دیگر، میانه مقداری است که تقریباً نصف اعداد داده شده کوچکتر و نصف دیگر آنها بزرگتر از آن است.

برای محاسبه میانه، نخست باید داده‌ها را به ترتیب افزایشی یا کاهشی قرار داده و سپس به مقدار وسطین متناظر با تعداد داده‌ها دسترسی پیدا کرد. در صورتی که تعداد داده‌ها فرد باشد، میانه به عنوان مقدار دقیقاً وسطین دسته انتخاب می‌شود. در صورتی که تعداد داده‌ها زوج باشد، میانه به عنوان میانگین اعداد وسطین دسته انتخاب می‌شود.

میانه به عنوان یک معیار مرکزی در تحلیل آماری مورد استفاده قرار می‌گیرد. این مفهوم برای محاسبه و تفسیر داده‌ها به خصوص در مواردی که توزیع داده‌ها از توزیع نرمال یا متقارن فاصله دارد، مفید است.

محاسبه آن

ویژگی‌های آن

مقاومت در برابر داده‌های پرت:

این مفهوم به دلیل عدم تحت تاثیر قرار گرفتن از داده‌های پرت و نویز، مقاومت بالایی دارد و می‌تواند یک توصیف دقیقتر از داده‌ها ارائه دهد.

معیاری از مرکز توزیع:

این مفهوم نشان دهنده موقعیت مرکزی داده‌ها در توزیع است. این معیار می‌تواند اطلاعات مفیدی درباره شکل توزیع ارائه دهد.

استفاده در تحلیل داده‌های پراکندگی:

این مفهوم می‌تواند در تحلیل داده‌هایی که دارای پراکندگی زیادی هستند، به عنوان معیاری جایگزین برای میانگین استفاده شود. به این ترتیب، توصیفی دقیقتر از ویژگی‌های توزیع داده‌ها ارائه می‌دهد.

کاربردهای در علوم اجتماعی و اقتصادی:

این مفهوم به عنوان یک معیار اصلاح شده از میانگین استفاده می‌شود و در بسیاری از زمینه‌های علوم اجتماعی و اقتصادی، مانند درآمد، سن، قد و غیره مورد استفاده قرار می‌گیرد.

استفاده در توزیع‌های غیرنرمال:

در توزیع‌هایی که تغییری نسبت به توزیع نرمال دارند و داده‌ها از تمرکز نرمال خارج هستند، میانه به عنوان یک معیار میانگین استفاده می‌شود.

کاربرد های میانه

میانه یکی از معیارهای مرکزی در آمار و احتمالات است و در تحلیل داده‌ها و توصیف توزیع‌ها مورد استفاده قرار می‌گیرد. این معیار می‌تواند در موارد مختلف و متنوعی در ریاضیات کاربرد داشته باشد:

1. تحلیل توزیع‌های داده‌ها: میانه به خوبی توزیع داده‌ها را توصیف می‌کند، به ویژه در مواردی که داده‌ها پراش دارند یا توزیع نامتقارن است. این معیار می‌تواند اطلاعاتی ارائه دهد که از دیگر معیارهای مرکزی مثل میانگین نمی‌توان به دست آورد.
2. مقایسه توزیع‌ها: با استفاده از میانه، می‌توان توزیع‌های مختلف را با یکدیگر مقایسه کرد. این معیار در مواقعی که توزیع‌ها نامتقارن هستند یا دارای داده‌های پراش دارند، می‌تواند بهتر از میانگین منعکس کننده تفاوت‌ها باشد.
3. تحلیل ترتیبی داده‌ها: در داده‌های ترتیبی (مثل رتبه‌ها)، میانه به عنوان معیاری برای محاسبه موقعیت وسطی داده‌ها به کار می‌رود.
4. مقاومت در برابر داده‌های پرت: میانه به دلیل مقاومت به داده‌های پرت (داده‌هایی که از توزیع معمولی فاصله دارند) مناسب است. در تحلیل داده‌ها، داده‌های پرت ممکن است تأثیر مخربی داشته باشند، اما میانه به دلیل مقاومت به این داده‌ها می‌تواند بهترین تخمین‌گر برای میانه جامعه باشد.
5. مورد استفاده در مسائل متوسط‌گیری: این مفهوم در مواردی که نیاز به متوسط‌گیری (میانگین) از داده‌ها باشد، استفاده می‌شود. از آنجا که میانه به طور معمول برای داده‌های پراش دار یا توزیع نامتقارن مناسب‌تر است، در مسائلی که این نوع داده‌ها دخیل باشند، میانه می‌تواند بهترین گزینه باشد.
6. مورد استفاده در تحلیل داده‌های مرتبه‌ای: این موضوع در تحلیل داده‌های مرتبه‌ای (مثل امتیازها یا رتبه‌ها) کاربرد دارد. این معیار به عنوان معیاری از موقعیت مرتبه‌ای داده‌ها استفاده می‌شود.

به طور کلی، میانه به دلیل ویژگی‌های مذکور و توانایی در توصیف توزیع‌ها در موارد مختلف، در تحلیل داده‌ها و تحقیقات آماری به طور گسترده استفاده می‌شود.

کاربرد میانه در تحلیل توزیع های داده ها

میانه یکی از معیارهای مرکزی در تحلیل توزیع داده‌هاست و در توصیف و تحلیل توزیع‌های مختلف مورد استفاده قرار می‌گیرد. در زیر تعدادی از کاربردهای میانه در تحلیل توزیع داده‌ها آمده است:

1. توزیع‌های نامتقارن: در توزیع‌های نامتقارن که معیار میانگین ممکن است تحت تأثیر داده‌های پرت قرار بگیرد، میانه به عنوان یک معیار مرکزی مقاوم به داده‌های پرت و حساسیت کمتری نسبت به تغییرات در داده‌ها مورد استفاده قرار می‌گیرد. این کاربرد به تحلیل دقیق‌تر و توصیف مناسب‌تر توزیع‌هایی که از توزیع نرمال یا معیارهای معمولی فاصله دارند کمک می‌کند.
2. داده‌های پراش دار: وقتی که داده‌ها پراش دارند یعنی دارای اختلاف زیادی در ارزش‌هایشان هستند، میانه به عنوان یک معیار مرکزی می‌تواند تصویر بهتری از داده‌ها ارائه دهد. در این موارد، میانگین ممکن است توسط داده‌های پرت تحت تأثیر قرار گیرد و اطلاعاتی از وسط توزیع را از دست بدهد.
3. اندازه‌گیری مرتبه‌ای: میانه در تحلیل داده‌های مرتبه‌ای (مانند رتبه‌ها) بسیار کاربردی است. در این موارد، میانه مقدار میانی رتبه‌ها را نشان می‌دهد و به توصیف مرتبه وسطی داده‌ها کمک می‌کند.
4. توزیع داده‌های ترتیبی: میانه در توزیع داده‌های ترتیبی به عنوان معیاری از موقعیت وسطی داده‌ها مورد استفاده قرار می‌گیرد. این کاربرد در تحلیل داده‌هایی مانند زمان تا فیلم‌های پرتغالی، دوره‌های انتظار زندگی، و غیره می‌تواند مفید باشد.
5. مقایسه توزیع‌ها: با استفاده از میانه، می‌توان توزیع‌های مختلف را مقایسه کرد. این کاربرد در مقایسه توزیع‌هایی با اندازه‌گیری‌های متفاوت یا شکل‌های مختلف مورد استفاده قرار می‌گیرد.

به طور کلی، میانه به دلیل مقاومت به داده‌های پرت، توانایی توصیف دقیق‌تر توزیع‌های نامتقارن و توزیع‌هایی با داده‌های پراش دار، در تحلیل داده‌ها و توصیف توزیع‌ها در موارد مختلف از جمله تحقیقات آماری و تحلیل داده‌ها اهمیت دارد.

کاربرد میانه در مقاومت در برابر داده های پرت

میانه به دلیل ویژگی‌هایی که دارد، در مقاومت در برابر داده‌های پرت بسیار مفید است. داده‌های پرت (داده‌هایی که از توزیع معمولی فاصله دارند و از الگوهای عمومی خارج می‌شوند) ممکن است به راحتی تحت تأثیر معیارهای مرکزی دیگر قرار بگیرند و تحلیل‌های آماری را تغییر دهند. اما میانه به عنوان یک معیار مرکزی مقاوم به داده‌های پرت عمل می‌کند و از تأثیر آنها به میزان زیادی می‌کاهد. در ادامه توضیحاتی درباره کاربرد میانه در مقاومت در برابر داده‌های پرت آمده است:

1. کاهش تأثیر داده‌های پرت: داده‌های پرت می‌توانند تحلیل‌های آماری را تغییر دهند و به معنای نادرست شدن نتایج تحلیلی گردند. این امر بخصوص در معیارهای مرکزی مانند میانگین مشهود است. اما میانه به عنوان معیاری مرکزی مقاوم، تاثیر داده‌های پرت را به میزان زیادی کاهش می‌دهد و از تشویش نتایج جلوگیری می‌کند.
2. استفاده در تحلیل‌های توزیع‌های نامتقارن: توزیع‌های نامتقارن و داده‌های پراش دار در تحلیل آماری معمولاً با مشکلاتی مواجه هستند. از آنجا که میانه به میزان کمتری تحت تأثیر تغییرات در داده‌های پرت قرار می‌گیرد، می‌تواند در توصیف و تحلیل توزیع‌های این نوع مورد استفاده قرار گیرد.
3. حفظ اطلاعات در داده‌های پرت: ممکن است داده‌های پرت حاوی اطلاعات مهمی باشند و تصمیم‌گیری‌ها را تحت تأثیر قرار دهند. استفاده از میانه به عنوان معیار مرکزی مقاوم در برابر داده‌های پرت، به ما کمک می‌کند تا از از دست رفتن اطلاعات ارزشمند جلوگیری کنیم.
4. تقلیل اثرات نویز و خطاهای تصادفی: داده‌های پرت ممکن است از نویز یا خطاهای تصادفی ناشی شوند. استفاده از میانه به عنوان معیار مرکزی مقاوم به تحلیل توزیع‌ها، به ما کمک می‌کند تا اثرات نویز و خطاهای تصادفی را در تحلیل‌هایمان کاهش دهیم.

کاربرد میانه در تحلیل داده‌های مرتبه‌ای